• Українська
  • Русский
  • English
header_uk_Dnipro
kdr_facebook
kdr_vkontakte
kdr_linkedin

ПРОГРАМА ФАХОВИХ ВСТУПНИХ ВИПРОБУВАНЬ за спеціальністю 111 – Математика для вступу на навчання для отримання освітньо-кваліфікаційного рівня спеціаліст, ступеня магістр (основна — 1-6 стор., додаткова — 7-12 стор.)

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Метою додаткового іспиту з вибіркових дисциплін є перевірка відповідності знань, умінь та практичних навичок студентів даним вимогам. У ході додаткових вступних випробувань оцінюється рівень знань по додатковим дисциплінам, викладення яких передбачено навчальним планом підготовки бакалаврів за напрямом підготовки 6.040201 «Математика».
На додаткові вступні випробування виносяться питання з таких навчальних дисциплін:

  1. Функціональний аналіз.
  2. Теорія міри та інтеграла.
  3. Топологія.
  4. Елементи криптографії.
  5. Рівняння математичної фізики.
  6. Методи оптимізації та варіаційне числення.

ЗМІСТ ДОДАТКОВОГО ВСТУПНОГО ВИПРОБУВАННЯ

Функціональний аналіз

  1. Метричний простір. Аксіоми і основні поняття. Простори R n , s, S, p , , M [ a.b ]. Характер збіжності у просторі M [ a.b ].
  2. Нерівності Гельдера для сум і для інтегралів.
  3. Нерівності Мінковського для сум і для інтегралів.
  4. Сепарабельні простори. Приклади сепарабельних просторів, приклад несепарабельного метричного простору.
  5. Повні і неповні метричні простори. Означення і приклади. Теорема про поповнення.
  6. Принцип стискаючих відображень і застосування принципу стискаючих відображень.
  7. Нормовані простори. Основні поняття і приклади. Теорема про еквівалентність скінченномірних нормованих просторів.
  8. Лінійні простори зі скалярним добутком. Приклади. Нерівність Коші-Буняковського. Гільбертові простори.
  9. Ортогональні і ортонормовані системи елементів. Процес ортогоналізації Шмідта.
  10. Ряди Фур’є. Нерівність Бесселя, рівність Парсеваля. Збіжність рядів Фур’є. Замкнені ортонормовані системи.
  11. Лінійні обмежені оператори в нормованих просторах і їх властивості. Норма лінійного обмеженого лінійного оператора. Формули для обчислення норми лінійного обмеженого оператора.
  12. Простір лінійних обмежених операторів і його повнота. Спряжений простір і його повнота.
  13. Теореми Банаха-Штейнгауза.
  14. Теореми Банаха про існування і обмеженість оберненого оператора.
  15. Оператори, що залежать від параметру. Власні значення і власні елементи обмеженого оператора. Спектр і множина регулярних чисел.
  16. Теорема Хана-Банаха про продовження лінійного функціонала (випадок дійсного сепарабельного простору).
  17. Загальний вид лінійного функціонала у просторі , 1 < p < ∞.
  18. Загальний вид лінійного функціонала у просторі l p , 1 < p < ∞.
  19. Загальний вид лінійного функціонала у гільбертовому просторі.
  20. Загальний вигляд лінійного функціоналу в просторі C[a,b].
  21. Поняття спряженого оператора до оператора, що перетворює нормований простір у нормований і його властивості. Норма спряженого оператора. Приклади спряжених операторів.
  22. Компактні множини. Приклади і властивості компактних множин.
  23. Критерій компактності (теорема Хаусдорфа).
  24. Цілком неперервні оператори і їх властивості. Приклади цілком неперервних операторів і операторів, що не є цілком неперервним.
  25.  Теореми про розв’язок рівняння з цілком неперервним оператором. Альтернатива Фредгольма.
  26. Спектр цілком неперервного оператора.

Теорія міри та інтеграла

  1. Основні поняття теорії множин. Приклади. Співвідношення двоїстості.
  2. Зчислені множини та їх властивості, критерій зчисленості множини. Приклади зчисленних множин.
  3. Незчисленність множини точок відрізка [0;1]. Поняття потужності контінуум. Приклади множин потужності континууму.
  4. Теорема про необмеженість потужностей.
  5. Поняття граничної точки множини. Критерій граничної точки множини. Похідна множина.
  6. Поняття відкритих і замкнених множин та їх властивості. відкритих множин. Структура відкритих і замкнених множин в R1.
  7. Канторова відкрита множина. Канторова досконала множина.
  8. Означення вимірності обмеженої множини в R1, міра вимірної множини. Вимірність доповнення до вимірної множини. Вимірність об’єднання і перетину вимірних множин.
  9. Поняття вимірної функції. Властивості вимірних функцій.
  10. Збіжність майже скрізь і збіжність за мірою. Зв’язок між збіжністю майже скрізь і збіжністю за мірою.
  11. Приклад послідовності функцій, яка збігається за мірою, але не збігається ніде.
  12. Теорема Рісса.
  13. Поняття інтеграла Лебега та його властивості.
  14. Абсолютна неперервність інтеграла Лебега.
  15. Нерівність Чебишева і наслідок з нерівності Чебишева.
  16. Теорема Лебега (про граничний перехід під знаком інтеграла).
  17. Теорема Леві.
  18. Теорема Фату.
  19. Порівняння інтеграла Рімана і Лебега.
  20. Монотонні функції і їх властивості. Функції обмеженої варіації і їх властивості.
  21. Необхідна і достатня умови того, щоб функція була функцією обмеженої варіації.
  22. Поняття невизначеного інтеграла і його властивості.
  23. Теорема про диференційованість невизначеного інтеграла.
  24. Абсолютно неперервні функції і їх властивості. Приклади абсолютно неперервних функцій і функцій, які не є абсолютно неперервними.
  25. Теорема про розв’язок рівняння φ´(х) = 0 на множині абсолютно неперервних функцій (без доведення).
  26. Зображення абсолютно неперервної функції інтегралом від своєї похідної (формула Ньютона-Лейбніца).
  27. Інтеграл Рімана-Стільтьєса і його властивості. Існування інтеграла Рімана-Стільтьєса.
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

wpDiscuz